कक्षा 12वीं गणित अर्द्धवार्षिक परीक्षा पेपर 2023 | Class 12th maths half yearly real paper 2023

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कक्षा 12वीं गणित अर्द्धवार्षिक परीक्षा पेपर 2023

अर्द्धवार्षिक परीक्षा 2022-23

कक्षा 12वी

विषय गणित

 समय  03:00 (घण्टे)                                                              पूर्णांक  80

निर्देश :-    

  •  सभी प्रश्न हल करना अनिवार्य हैं।
  •  प्रश्नों के लिए आवंटित अंक उनके सम्मुख अंकित हैं।
  •  प्रश्न. क्र. 1 से प्रश्न क्र. 5  तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं।
  •  प्रश्न क्र. 6 से प्रश्न क्र. 23 तक प्रत्येक प्रश्न में आंतरिक विकल्प दिये गये हैं

प्रश्न.1 सही विकल्प चुनकर लिखिए                                                                          [1×6=6]

 (i) X में R द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध एक रिक्त सम्बन्ध होता है यदि-

     (a

                         (b)

     (c)                       (c) 

(ii) अवकल समीकरण  0 की कोटि है—

      (a) 2                                                    (b) 1

      (c) 0                                                    (d) परिभाषित नहीं है

(iii) यदि A, 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है, तो  | adj A| का मान है-

       (a)                                               (b) |A|

       (c)                                               (d) 3 |A|

(iv) यदि x = x हो, तो  बराबर  होगा-

       (a)                                                (c)     

       (b)                                  (d) इनमें से कोई नहीं

(v) का मान होगा-

        (a) 1,                                                  (b) 2,

        (c) ,                                                  (d)

(vi) समुच्चय A = {1, 2, 3} पर सम्बन्ध R, R = {(1, 1), (1, 2), (3, 1), (2, 2), (3, 3)}

      द्वारा परिभाषित है, तब R है- .

        (a) सममित, स्वतुल्य, संक्रामक,                (b) स्वतुल्य,

        (c) संक्रामक है, स्वतुल्य नहीं,                   (d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न.2  रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए                                                                            [1×7=7]

(i) दो समान्तर रेखाओं में दिक्-अनुपात ………. होते हैं।

(ii) चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ

      अचरों की संख्या ………..है

(iii) यदि y =  cos x हो, तो  का मान ……….. है

(iv) यदि A (adj A) = (adj A) A = ………….. जहाँ A, n कोटि का वर्ग आव्यूह है

(v) यदि A=और B = तो AB= ..……..  है

          (vi) x + x = …….. होगा

(vii) समुच्चय A = {1, 2, 3} पर अधिकतम तुल्यता सम्बन्धों की संख्या……….. है

प्रश्न 3. सही जोड़ी मिलाइए-                                                                                                [1×6=6]                                                                               

              ‘क’                                                          ‘ख

(i)                                 (a) log [x+ ]+c

(ii)                                     (b) log

(iii)                                    (c) log | x+|+c

(iv)                                       (d) log(sin x)+c

(v)                                              (e) +c

(vi) cot x                                            (f) log (

प्रश्न 4. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए-                                                                

(i) फलन  द्वारा परिभाषित है, तब  का डोमेन ज्ञात कीजिए ।

(ii)  का मान लिखिए।

(iii) यदि A = हो, तो – 5A + 7 का मान क्या है ?

(iv) त्रिज्या r के सापेक्ष वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर होगी, जब r = 5 सेमी है।

(v) अवकल समीकरण  का हल ज्ञात कीजिए।

(vi) यदि समतलीय हों, तो [] का मान क्या होगा ?

(vii) एक लीप वर्ष में 53 शुक्रवार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए   

प्रश्न 5 सत्य असत्य की पहचान कीजिये                                                                    [1×6=6]

          (i)  sin-1 का मान 60° होता है।

         (ii) किसी शून्य आव्यूह (या रिक्त आव्यूह) के सभी अवयव शून्य होते हैं।

         (iii) (tan x) = sec x tan x.

         (iv) फलन f (x) = cos x, अन्तराल () में ह्रासमान है।

         (v) x  = ab .n.

        (vi) यदि  और  परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हों, तो P = 0 होता है।

प्रश्न 6.  ऐसे सम्बन्ध का उदाहरण दीजिए, जो सममित हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो                 [2]                                                                                                            

                                 अथवा

      सिद्ध कीजिए कि  द्वारा प्रदत्त फलन  एकैकी है किन्तु आच्छादक नहीं है

प्रश्न 7 sin-1 का मुख्य मान ज्ञात कीजिए                                                                                  [2]                                                                                                                                                      

                  अथवा

      फलन को सरलतम

      रूप में लिखिए।

प्रश्न 8.  यदि A = तथा B = हैं, तो AB का मान ज्ञात कीजिए                                        [2]                                                                                                           

                                अथवा

          निम्नलिखित समीकरण से x तथा y के मानों को ज्ञात कीजिए-

          +=

प्रश्न 9.  फलन  के सातत्य पर विचार कीजिए                                            [2]                                                                                                           

                                 अथवा

 का अवकलज ज्ञात कीजिए

प्रश्न 10. दिखाइए कि प्रदत्त फलन  पर एक निरन्तर वर्धमान फलन है                   [2]                                                                                                                                                                                                                           

                                   अथवा

           वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या के सापेक्ष ज्ञात कीजिए, जब  है

प्रश्न 11.  एक स्थिर झील में पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 4 cm/s की गति से चलती है। जब              [2]                                                                                                           

             वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 10 cm है, तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल कितनी तेजी से बढ़ रहा है ?                                      

                        अथवा

           किसी आयत की लम्बाई x, 3 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 2 cm/min की दर

           से बढ़  रही है। जब x = 10 cm और y = 6 cm है, तब आयत के (a) परिमाप और (b) क्षेत्रफल

          में परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए

प्रश्न 12.  की गणना कीजिए                                                                                    [2]                                                                                                           

                                    अथवा

            x dx का मान ज्ञात कीजिए ।

प्रश्न 13. यदि  व दो असरेख सदिश हैं, तो सिद्ध कीजिए                                                                 [2]                                                                                                           

                            अथवा

          दो सदिशों  व  के परिमाण क्रमशः 1 और 2 हैं .   = 1, इन सदिशों  के

          बीच का कोण ज्ञात कीजिए       

प्रश्न 14. दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, – 2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए        [2]                                                                                                           

                           अथवा

 यदि रेखा के दिक्- अनुपात 2,- 1, – 2 हैं, तो इसकी दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए

प्रश्न 15. उस सरल रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए, जो अक्षों से समान कोण बनाती है                            [2]

                            अथवा

            दो बिन्दुओं P (2, 3, 4) और Q (4, 1, – 2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए

प्रश्न 16. दीर्घवृत्त   से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए                                                     [3]

                    अथवा

             वक्र  = 4ax और रेखा y = mx के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 17.अवकल समीकरण  ” को हल कीजिए                                          [3]

                             अथवा

       अवकल समीकरण  का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए

       दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = 0

प्रश्न 18. असमीकरण 3x + 2y 6 का ग्राफ खींचिए                                                                         [3]

                                अथवा

         निम्न अवरोधों के अन्तर्गत  का न्यूनतमीकरण कीजिए-

प्रश्न 19. किसी प्रश्न को हल करने के 4 के प्रतिकूल संयोगानुपात 4 : 3 तथा उसी प्रश्न A को हल करने

            के B के अनुकूल संयोगानुपात 7 : 5 हैं। यदि वे कोशिश करते हैं, तो प्रश्न को हल होने की प्रायिकता

            ज्ञात कीजिए                                                                                                                   [3]

                                            अथवा

        सिद्ध कीजिए कि यदि  और  स्वतन्त्र घटनाएँ हैं, तो  या  में से न्यूनतम एक के होने की प्रायिकता

प्रश्न 20.निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए-                                                [4]

                         अथवा

यदि A = हैं, तो सत्यापित कीजिए कि  है

  प्रश्न 21.    . का मान ज्ञात कीजिए, यदि                           [4]

                                  अथवा

      फलन +  का  के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 22. समाकलन  का मान ज्ञात कीजिए                                                           [4]

                                         अथवा

          का मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 23.बिन्दुओं ( 2, 3, 4) एवं (1, 2, 3) से गुजरने वाली सरल रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

           कार्तीय रूप भी ज्ञात कीजिए                                                                                                [4]

                                       अथवा

       सिद्ध कीजिए कि एक घन के किसी दो विकर्णों के बीच का कोण होता है। होता है

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