कक्षा 12वीं गणित अर्द्धवार्षिक परीक्षा पेपर 2023
अर्द्धवार्षिक परीक्षा 2022-23
कक्षा 12वी
विषय गणित
समय 03:00 (घण्टे) पूर्णांक 80
निर्देश :-
- सभी प्रश्न हल करना अनिवार्य हैं।
- प्रश्नों के लिए आवंटित अंक उनके सम्मुख अंकित हैं।
- प्रश्न. क्र. 1 से प्रश्न क्र. 5 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं।
- प्रश्न क्र. 6 से प्रश्न क्र. 23 तक प्रत्येक प्रश्न में आंतरिक विकल्प दिये गये हैं
प्रश्न.1 सही विकल्प चुनकर लिखिए [1×6=6]
(i) X में R द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध एक रिक्त सम्बन्ध होता है यदि-
(a
(c)
(c)
(ii) अवकल समीकरण 0 की कोटि है—
(a) 2 (b) 1
(c) 0 (d) परिभाषित नहीं है
(iii) यदि A, 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है, तो | adj A| का मान है-
(a) (b) |A|
(c) (d) 3 |A|
(iv) यदि x = x
हो, तो
बराबर होगा-
(a) (c)
(b) (d) इनमें से कोई नहीं
(v) का मान होगा-
(a) 1, (b) 2,
(c) , (d)
(vi) समुच्चय A = {1, 2, 3} पर सम्बन्ध R, R = {(1, 1), (1, 2), (3, 1), (2, 2), (3, 3)}
द्वारा परिभाषित है, तब R है- .
(a) सममित, स्वतुल्य, संक्रामक, (b) स्वतुल्य,
(c) संक्रामक है, स्वतुल्य नहीं, (d) इनमें से कोई नहीं
प्रश्न.2 रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए [1×7=7]
(i) दो समान्तर रेखाओं में दिक्-अनुपात ………. होते हैं।
(ii) चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ
अचरों की संख्या ………..है
(iii) यदि y = cos x हो, तो
का मान ……….. है
(iv) यदि A (adj A) = (adj A) A = ………….. जहाँ A, n कोटि का वर्ग आव्यूह है
(v) यदि A=और B =
तो AB= ..…….. है
(vi) x +
x = …….. होगा
(vii) समुच्चय A = {1, 2, 3} पर अधिकतम तुल्यता सम्बन्धों की संख्या……….. है
प्रश्न 3. सही जोड़ी मिलाइए- [1×6=6]
‘क’ ‘ख
(i)
(a) log [x+
]+c
(ii) (b)
log
(iii) (c)
–
log | x+
|+c
(iv) (d) log(sin x)+c
(v) (e)
+c
(vi) cot x (f) log (
प्रश्न 4. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए-
(i) फलन द्वारा परिभाषित है, तब
का डोमेन ज्ञात कीजिए ।
(ii) का मान लिखिए।
(iii) यदि A = हो, तो
– 5A + 7
का मान क्या है ?
(iv) त्रिज्या r के सापेक्ष वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर होगी, जब r = 5 सेमी है।
(v) अवकल समीकरण का हल ज्ञात कीजिए।
(vi) यदि समतलीय हों, तो [
] का मान क्या होगा ?
(vii) एक लीप वर्ष में 53 शुक्रवार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
प्रश्न 5 सत्य असत्य की पहचान कीजिये [1×6=6]
(i) sin-1 का मान 60° होता है।
(ii) किसी शून्य आव्यूह (या रिक्त आव्यूह) के सभी अवयव शून्य होते हैं।
(iii) (tan x) = sec x tan x.
(iv) फलन f (x) = cos x, अन्तराल () में ह्रासमान है।
(v) x
= ab
.n.
(vi) यदि और
परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हों, तो P
= 0 होता है।
प्रश्न 6. ऐसे सम्बन्ध का उदाहरण दीजिए, जो सममित हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो [2]
अथवा
सिद्ध कीजिए कि द्वारा प्रदत्त फलन
एकैकी है किन्तु आच्छादक नहीं है
प्रश्न 7 sin-1 का मुख्य मान ज्ञात कीजिए [2]
अथवा
फलन को सरलतम
रूप में लिखिए।
प्रश्न 8. यदि A = तथा B =
हैं, तो AB का मान ज्ञात कीजिए [2]
अथवा
निम्नलिखित समीकरण से x तथा y के मानों को ज्ञात कीजिए-
+
=
प्रश्न 9. फलन के सातत्य पर विचार कीजिए [2]
अथवा
का अवकलज ज्ञात कीजिए
प्रश्न 10. दिखाइए कि प्रदत्त फलन पर एक निरन्तर वर्धमान फलन है [2]
अथवा
वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या के सापेक्ष ज्ञात कीजिए, जब है
प्रश्न 11. एक स्थिर झील में पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 4 cm/s की गति से चलती है। जब [2]
वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 10 cm है, तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल कितनी तेजी से बढ़ रहा है ?
अथवा
किसी आयत की लम्बाई x, 3 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 2 cm/min की दर
से बढ़ रही है। जब x = 10 cm और y = 6 cm है, तब आयत के (a) परिमाप और (b) क्षेत्रफल
में परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए
प्रश्न 12. की गणना कीजिए [2]
अथवा
x dx का मान ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 13. यदि व
दो असरेख सदिश हैं, तो सिद्ध कीजिए [2]
अथवा
दो सदिशों व
के परिमाण क्रमशः 1 और 2 हैं
.
= 1, इन सदिशों के
बीच का कोण ज्ञात कीजिए
प्रश्न 14. दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, – 2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए [2]
अथवा
यदि रेखा के दिक्- अनुपात 2,- 1, – 2 हैं, तो इसकी दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए
प्रश्न 15. उस सरल रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए, जो अक्षों से समान कोण बनाती है [2]
अथवा
दो बिन्दुओं P (2, 3, 4) और Q (4, 1, – 2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए
प्रश्न 16. दीर्घवृत्त से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए [3]
अथवा
वक्र = 4ax और रेखा y = mx के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 17.अवकल समीकरण ” को हल कीजिए [3]
अथवा
अवकल समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए
दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = 0
प्रश्न 18. असमीकरण 3x + 2y 6 का ग्राफ खींचिए [3]
अथवा
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत का न्यूनतमीकरण कीजिए-
प्रश्न 19. किसी प्रश्न को हल करने के 4 के प्रतिकूल संयोगानुपात 4 : 3 तथा उसी प्रश्न A को हल करने
के B के अनुकूल संयोगानुपात 7 : 5 हैं। यदि वे कोशिश करते हैं, तो प्रश्न को हल होने की प्रायिकता
ज्ञात कीजिए [3]
अथवा
सिद्ध कीजिए कि यदि और
स्वतन्त्र घटनाएँ हैं, तो
या
में से न्यूनतम एक के होने की प्रायिकता
प्रश्न 20.निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए- [4]
अथवा
यदि A = हैं, तो सत्यापित कीजिए कि
है
प्रश्न 21. . का मान ज्ञात कीजिए, यदि
[4]
अथवा
फलन +
का
के सापेक्ष अवकलन कीजिए
प्रश्न 22. समाकलन का मान ज्ञात कीजिए [4]
अथवा
का मान ज्ञात कीजिए
प्रश्न 23.बिन्दुओं ( 2, 3, 4) एवं (1, 2, 3) से गुजरने वाली सरल रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
कार्तीय रूप भी ज्ञात कीजिए [4]
अथवा
सिद्ध कीजिए कि एक घन के किसी दो विकर्णों के बीच का कोण होता है। होता है
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