नमस्कार विद्यार्थियों! मैं आप सभी के लिए Class 9th Math Trimasik Paper 2026 का एक पेपर लेकर आ चुका हूँ। यदि आप MP Board Class 9th Math Trimasik Exam 2026 की तैयारी कर रहे हैं, तो यह पेपर आपके लिए काफी उपयोगी हो सकता है। विद्यार्थियों जैसा की माह सितंबर में दिन सोमवार 7 तारीख को से आपकी त्रैमासिक परीक्षाएं स्टार्ट हो रही हैं और पहला ही पेपर गणित का होने वाला है इसलिए आपको गणित के पेपर की कॉपी आवश्यकता है इसलिए मैं Class 9th Math Trimasik Paper 2026 लेकर आ चुका हूं इस पेपर का संपूर्ण सॉल्यूशन भी आप को मैं देने वाला हूं
त्रैमासिक परीक्षा 2026-27
कक्षा – 9वीं
विषय – गणित
समय – 3 घंटे पूर्णांक – 75
निर्देश –
(1) सभी प्रश्न हल करना अनिवार्य है।
(2) प्रश्न क्रमांक 1 से 5 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।
(3) प्रश्न क्रमांक 6 से 17 तक प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है।
(4) प्रश्न क्रमांक 18 से 20 तक प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है।
(5) प्रश्न क्रमांक 21 से 23 तक प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है।
(6) प्रश्न क्रमांक 6 से 23 तक प्रत्येक प्रश्न में आंतरिक विकल्प दिया गया है।
प्रश्न 1. सही विकल्प का चयन कीजिए – 6
(1) निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या अपरिमेय है?
(अ) 3/5 (ब) 0.25 (स) √7 (द) -4
(2) √81 का मान है –
(अ) 7 (ब) 8 (स) 9 (द) 10
(3) बहुपद 5x³ – 2x + 7 की घात है –
(अ) 1 (ब) 2 (स) 3 (द) 7
(4) यदि p(x) = x + 4 है, तो p(-4) का मान है –
(अ) 4 (ब) 0 (स) -4 (द) 8
(5) निम्नलिखित में से कौन-सा एकपदी बहुपद है?
(अ) x + 1 (ब) 2x² (स) x² + x (द) x + y
(6) √3 × √12 का मान है –
(अ) 3 (ब) 6 (स) 9 (द) 12
प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए – 6
(1) प्रत्येक पूर्णांक एक __________ संख्या होती है।
(2) √5 का दशमलव प्रसार __________ होता है।
(3) शून्येतर अचर बहुपद की घात __________ होती है।
(4) बहुपद x² – 9 के शून्यक __________ और __________ हैं।
(5) x² – y² = __________ का सर्वसमिका रूप है।
(6) √a × √a = __________, जहाँ a धनात्मक है।
प्रश्न 3. सत्य अथवा असत्य लिखिए – 6
(1) प्रत्येक परिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
(2) √2 एक परिमेय संख्या है।
(3) बहुपद 7x + 3 एक रैखिक बहुपद है।
(4) शून्य बहुपद की घात 1 होती है।
(5) x² + 5x + 6 के शून्यक -2 और -3 हैं।
(6) (a + b)² = a² + b²।
प्रश्न 4. सही जोड़ी मिलाकर लिखिए – 6
(अ) (ब)
(1) √16 (क) x² – 4
(2) x² – 4 (ख) 4
(3) x³ + 2 (ग) 3
(4) 5x + 1 (घ) द्विपद
(5) x² + 3x + 2 (ङ) 1
(6) (a + b)(a – b) (च) x² + 3x + 2
प्रश्न 5. एक वाक्य में उत्तर दीजिए – 6
(1) अपरिमेय संख्या किसे कहते हैं?
(2) वास्तविक संख्या किसे कहते हैं?
(3) बहुपद की घात किसे कहते हैं?
(4) बहुपद का शून्यक क्या होता है?
(5) द्विघात बहुपद का सामान्य रूप लिखिए।
(6) (a + b)² का विस्तार लिखिए।
प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि 0.375 एक परिमेय संख्या है। 2
अथवा
18/24 को सरलतम रूप में लिखिए।
प्रश्न 7. 5/8 और 3/4 के बीच कोई दो परिमेय संख्याएँ लिखिए। 2
अथवा
2/3 और 5/6 के बीच कोई दो परिमेय संख्याएँ लिखिए।
प्रश्न 8. सरल कीजिए – √50 + √8। 2
अथवा
सरल कीजिए – √75 – √27।
प्रश्न 9. घातांक के नियमों का प्रयोग करके सरल कीजिए – 2³ × 2⁵। 2
अथवा
सरल कीजिए – 5⁷ ÷ 5⁴।
प्रश्न 10. यदि p(x) = 2x² – 3x + 5 है, तो p(1) ज्ञात कीजिए। 2
अथवा
यदि p(x) = x² + 4x – 5 है, तो p(-1) ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11. बहुपद 4x² – 7x + 3 की घात और गुणांकों की संख्या लिखिए। 2
अथवा
बहुपद 6x³ + 2x² – x + 8 के पदों की संख्या और घात लिखिए।
प्रश्न 12. गुणनखंड कीजिए – x² + 7x + 12। 2
अथवा
गुणनखंड कीजिए – x² – 11x + 30।
प्रश्न 13. सर्वसमिका का प्रयोग करके (103)² का मान ज्ञात कीजिए। 2
अथवा
सर्वसमिका का प्रयोग करके (98)² का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 14. सरल कीजिए – (x + 5)²। 2
अथवा
सरल कीजिए – (2x – 3)²।
प्रश्न 15. सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है। 2
अथवा
सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
प्रश्न 16. यदि x = 2 और y = -3 है, तो x² + 2xy + y² का मान ज्ञात कीजिए। 2
अथवा
यदि a = 4 और b = 1 है, तो a² – 2ab + b² का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 17. बहुपद x² – 5x + 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए। 2
अथवा
बहुपद x² + 2x – 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 18. सिद्ध कीजिए कि √2 + √3 एक अपरिमेय संख्या है। 3
अथवा
सिद्ध कीजिए कि 3 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।
प्रश्न 19. गुणनखंड कीजिए – 2x² + 7x + 3। 3
अथवा
गुणनखंड कीजिए – 3x² – 8x – 3।
प्रश्न 20. सर्वसमिका का प्रयोग करके (2x + 3y)² का विस्तार कीजिए। 3
अथवा
सर्वसमिका का प्रयोग करके (3a – 2b)² का विस्तार कीजिए।
प्रश्न 21. सिद्ध कीजिए कि √7 एक अपरिमेय संख्या है। 4
अथवा
सिद्ध कीजिए कि √11 एक अपरिमेय संख्या है।
प्रश्न 22. गुणनखंड कीजिए – x³ + 3x² – 4x – 12। 4
अथवा
गुणनखंड कीजिए – x³ – 2x² – 5x + 6।
प्रश्न 23. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके सरल कीजिए –
(1) (x + 2)² – (x – 2)²
(2) (3a + b)² – (3a – b)² 4
अथवा
सिद्ध कीजिए –
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
और इसका प्रयोग करके 12³ + 8³ का मान ज्ञात कीजिए।
त्रैमासिक परीक्षा 2026-27
कक्षा – 9वीं
विषय – गणित
समय – 3 घंटे पूर्णांक – 75
प्रश्न 1. सही विकल्प का चयन कीजिए – 6
(1) निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या अपरिमेय है?
उत्तर – (स) √7
(2) √81 का मान है –
उत्तर – (स) 9
(3) बहुपद 5x³ – 2x + 7 की घात है –
उत्तर – (स) 3
(4) यदि p(x) = x + 4 है, तो p(-4) का मान है –
उत्तर – (ब) 0
(5) निम्नलिखित में से कौन-सा एकपदी बहुपद है?
उत्तर – (ब) 2x²
(6) √3 × √12 का मान है –
उत्तर – (ब) 6
प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए – 6
(1) प्रत्येक पूर्णांक एक __________ संख्या होती है।
उत्तर – परिमेय
(2) √5 का दशमलव प्रसार __________ होता है।
उत्तर – अनवसानी और अनावर्ती
(3) शून्येतर अचर बहुपद की घात __________ होती है।
उत्तर – 0
(4) बहुपद x² – 9 के शून्यक __________ और __________ हैं।
उत्तर – 3 और -3
(5) x² – y² = __________ का सर्वसमिका रूप है।
उत्तर – (x + y)(x – y)
(6) √a × √a = __________, जहाँ a धनात्मक है।
उत्तर – a
प्रश्न 3. सत्य अथवा असत्य लिखिए – 6
(1) प्रत्येक परिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
उत्तर – सत्य।
(2) √2 एक परिमेय संख्या है।
उत्तर – असत्य।
(3) बहुपद 7x + 3 एक रैखिक बहुपद है।
उत्तर – सत्य।
(4) शून्य बहुपद की घात 1 होती है।
उत्तर – असत्य।
(5) x² + 5x + 6 के शून्यक -2 और -3 हैं।
उत्तर – सत्य।
(6) (a + b)² = a² + b²।
उत्तर – असत्य।
प्रश्न 4. सही जोड़ी मिलाकर लिखिए – 6
(1) √16
उत्तर – 4
(2) x² – 4
उत्तर – x² – 4 = (x + 2)(x – 2)
(3) x³ + 2
उत्तर – 3 घात वाला बहुपद
(4) 5x + 1
उत्तर – रैखिक बहुपद
(5) x² + 3x + 2
उत्तर – (x + 1)(x + 2)
(6) (a + b)(a – b)
उत्तर – a² – b²
प्रश्न 5. एक वाक्य में उत्तर दीजिए – 6
(1) अपरिमेय संख्या किसे कहते हैं?
उत्तर – ऐसी वास्तविक संख्या जिसे p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हों तथा q ≠ 0, अपरिमेय संख्या कहलाती है।
(2) वास्तविक संख्या किसे कहते हैं?
उत्तर – परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।
(3) बहुपद की घात किसे कहते हैं?
उत्तर – बहुपद में चर की उच्चतम घात को बहुपद की घात कहते हैं।
(4) बहुपद का शून्यक क्या होता है?
उत्तर – चर का वह मान जिसके लिए बहुपद का मान शून्य हो जाता है, बहुपद का शून्यक कहलाता है।
(5) द्विघात बहुपद का सामान्य रूप लिखिए।
उत्तर – ax² + bx + c, जहाँ a ≠ 0।
(6) (a + b)² का विस्तार लिखिए।
उत्तर – (a + b)² = a² + 2ab + b²।
प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि 0.375 एक परिमेय संख्या है। 2
उत्तर –
0.375 = 375/1000
अतः
0.375 = 3/8
चूँकि 3 और 8 दोनों पूर्णांक हैं तथा 8 ≠ 0,
अतः 0.375 को p/q के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए 0.375 एक परिमेय संख्या है।
अथवा
18/24 को सरलतम रूप में लिखिए।
उत्तर –
18/24 = 3/4
अतः 18/24 का सरलतम रूप 3/4 है।
प्रश्न 7. 5/8 और 3/4 के बीच कोई दो परिमेय संख्याएँ लिखिए। 2
उत्तर –
5/8 = 10/16
3/4 = 12/16
अतः 10/16 और 12/16 के बीच परिमेय संख्या है –
11/16
अन्य दो परिमेय संख्याएँ प्राप्त करने के लिए हर को और बड़ा कर सकते हैं।
अतः उदाहरण के रूप में 21/32 और 11/16 दो परिमेय संख्याएँ हैं।
अथवा
2/3 और 5/6 के बीच कोई दो परिमेय संख्याएँ लिखिए।
उत्तर –
2/3 = 8/12
5/6 = 10/12
अतः इनके बीच एक परिमेय संख्या 9/12 = 3/4 है।
और दो परिमेय संख्याएँ लेने के लिए –
2/3 = 16/24
5/6 = 20/24
अतः 17/24 और 18/24 दो परिमेय संख्याएँ हैं।
प्रश्न 8. सरल कीजिए – √50 + √8। 2
उत्तर –
√50 + √8
= √(25 × 2) + √(4 × 2)
= 5√2 + 2√2
= 7√2
अतः उत्तर = 7√2।
अथवा
सरल कीजिए – √75 – √27।
उत्तर –
√75 – √27
= √(25 × 3) – √(9 × 3)
= 5√3 – 3√3
= 2√3
अतः उत्तर = 2√3।
प्रश्न 9. घातांक के नियमों का प्रयोग करके सरल कीजिए – 2³ × 2⁵। 2
उत्तर –
2³ × 2⁵ = 2³⁺⁵
= 2⁸
= 256
अतः उत्तर = 256।
अथवा
सरल कीजिए – 5⁷ ÷ 5⁴।
उत्तर –
5⁷ ÷ 5⁴ = 5⁷⁻⁴
= 5³
= 125
अतः उत्तर = 125।
प्रश्न 10. यदि p(x) = 2x² – 3x + 5 है, तो p(1) ज्ञात कीजिए। 2
उत्तर –
p(x) = 2x² – 3x + 5
x = 1 रखने पर –
p(1) = 2(1)² – 3(1) + 5
= 2 – 3 + 5
= 4
अतः p(1) = 4।
अथवा
यदि p(x) = x² + 4x – 5 है, तो p(-1) ज्ञात कीजिए।
उत्तर –
p(-1) = (-1)² + 4(-1) – 5
= 1 – 4 – 5
= -8
अतः p(-1) = -8।
प्रश्न 11. बहुपद 4x² – 7x + 3 की घात और गुणांकों की संख्या लिखिए। 2
उत्तर –
बहुपद = 4x² – 7x + 3
चर की उच्चतम घात = 2
अतः बहुपद की घात = 2।
इसके गुणांक हैं – 4, -7 और 3।
अतः गुणांकों की संख्या = 3।
अथवा
बहुपद 6x³ + 2x² – x + 8 के पदों की संख्या और घात लिखिए।
उत्तर –
बहुपद = 6x³ + 2x² – x + 8
इसके पद हैं –
6x³, 2x², -x और 8
अतः पदों की संख्या = 4।
चर की उच्चतम घात = 3
अतः बहुपद की घात = 3।
प्रश्न 12. गुणनखंड कीजिए – x² + 7x + 12। 2
उत्तर –
x² + 7x + 12
= x² + 3x + 4x + 12
= x(x + 3) + 4(x + 3)
= (x + 3)(x + 4)
अतः गुणनखंड = (x + 3)(x + 4)।
अथवा
गुणनखंड कीजिए – x² – 11x + 30।
उत्तर –
x² – 11x + 30
= x² – 5x – 6x + 30
= x(x – 5) – 6(x – 5)
= (x – 5)(x – 6)
अतः गुणनखंड = (x – 5)(x – 6)।
प्रश्न 13. सर्वसमिका का प्रयोग करके (103)² का मान ज्ञात कीजिए। 2
उत्तर –
(103)² = (100 + 3)²
= 100² + 2(100)(3) + 3²
= 10000 + 600 + 9
= 10609
अतः (103)² = 10609।
अथवा
सर्वसमिका का प्रयोग करके (98)² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर –
(98)² = (100 – 2)²
= 100² – 2(100)(2) + 2²
= 10000 – 400 + 4
= 9604
अतः (98)² = 9604।
प्रश्न 14. सरल कीजिए – (x + 5)²। 2
उत्तर –
(x + 5)²
= x² + 2(x)(5) + 5²
= x² + 10x + 25
अतः उत्तर = x² + 10x + 25।
अथवा
सरल कीजिए – (2x – 3)²।
उत्तर –
(2x – 3)²
= (2x)² – 2(2x)(3) + 3²
= 4x² – 12x + 9
अतः उत्तर = 4x² – 12x + 9।
प्रश्न 15. सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है। 2
उत्तर –
मान लेते हैं कि √3 एक परिमेय संख्या है।
तब √3 = p/q
जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर –
3 = p²/q²
अर्थात्
p² = 3q²
इससे p², 3 से विभाज्य है। अतः p भी 3 से विभाज्य होगा।
मान लेते हैं p = 3k।
तब
p² = 9k²
अतः
9k² = 3q²
या
q² = 3k²
इससे q भी 3 से विभाज्य होगा।
इस प्रकार p और q दोनों 3 से विभाज्य हैं, जो कि उनके सह-अभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है।
अतः हमारी मान्यता गलत है।
इसलिए √3 एक अपरिमेय संख्या है।
अथवा
सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
उत्तर –
मान लेते हैं कि √5 एक परिमेय संख्या है।
तब √5 = p/q
जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0।
वर्ग करने पर –
5 = p²/q²
अर्थात्
p² = 5q²
इससे p² तथा p दोनों 5 से विभाज्य होंगे।
मान लेते हैं p = 5k।
तब
25k² = 5q²
अर्थात्
q² = 5k²
इससे q भी 5 से विभाज्य होगा।
यह p और q के सह-अभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है।
अतः √5 एक अपरिमेय संख्या है।
प्रश्न 16. यदि x = 2 और y = -3 है, तो x² + 2xy + y² का मान ज्ञात कीजिए। 2
उत्तर –
x² + 2xy + y²
= (x + y)²
x = 2 और y = -3 रखने पर –
= (2 – 3)²
= (-1)²
= 1
अतः उत्तर = 1।
अथवा
यदि a = 4 और b = 1 है, तो a² – 2ab + b² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर –
a² – 2ab + b²
= (a – b)²
a = 4 और b = 1 रखने पर –
= (4 – 1)²
= 3²
= 9
अतः उत्तर = 9।
प्रश्न 17. बहुपद x² – 5x + 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए। 2
उत्तर –
x² – 5x + 6
= x² – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
अतः
x – 2 = 0
x = 2
और
x – 3 = 0
x = 3
अतः शून्यक = 2 और 3।
अथवा
बहुपद x² + 2x – 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर –
x² + 2x – 8
= x² + 4x – 2x – 8
= x(x + 4) – 2(x + 4)
= (x + 4)(x – 2)
अतः
x + 4 = 0
x = -4
और
x – 2 = 0
x = 2
अतः शून्यक = -4 और 2।
प्रश्न 18. सिद्ध कीजिए कि √2 + √3 एक अपरिमेय संख्या है। 3
उत्तर –
मान लेते हैं कि √2 + √3 एक परिमेय संख्या है।
मान लेते हैं –
√2 + √3 = r
जहाँ r एक परिमेय संख्या है।
तब
√3 = r – √2
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर –
3 = r² + 2 – 2r√2
अर्थात्
2r√2 = r² – 1
इसलिए
√2 = (r² – 1)/(2r)
चूँकि r परिमेय है, इसलिए दाहिना पक्ष परिमेय होगा।
इससे √2 परिमेय संख्या हो जाएगी, जबकि √2 अपरिमेय है।
यह विरोधाभास है।
अतः √2 + √3 एक अपरिमेय संख्या है।
अथवा
सिद्ध कीजिए कि 3 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।
उत्तर –
मान लेते हैं कि 3 + √5 परिमेय है।
तब
√5 = (3 + √5) – 3
यदि 3 + √5 परिमेय है, तो परिमेय संख्या में से परिमेय संख्या 3 घटाने पर √5 भी परिमेय होगी।
लेकिन √5 एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास है।
अतः 3 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।
प्रश्न 19. गुणनखंड कीजिए – 2x² + 7x + 3। 3
उत्तर –
2x² + 7x + 3
= 2x² + 6x + x + 3
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (2x + 1)(x + 3)
अतः गुणनखंड = (2x + 1)(x + 3)।
अथवा
गुणनखंड कीजिए – 3x² – 8x – 3।
उत्तर –
3x² – 8x – 3
= 3x² – 9x + x – 3
= 3x(x – 3) + 1(x – 3)
= (3x + 1)(x – 3)
अतः गुणनखंड = (3x + 1)(x – 3)।
प्रश्न 20. सर्वसमिका का प्रयोग करके (2x + 3y)² का विस्तार कीजिए। 3
उत्तर –
(2x + 3y)²
= (2x)² + 2(2x)(3y) + (3y)²
= 4x² + 12xy + 9y²
अतः उत्तर = 4x² + 12xy + 9y²।
अथवा
सर्वसमिका का प्रयोग करके (3a – 2b)² का विस्तार कीजिए।
उत्तर –
(3a – 2b)²
= (3a)² – 2(3a)(2b) + (2b)²
= 9a² – 12ab + 4b²
अतः उत्तर = 9a² – 12ab + 4b²।
प्रश्न 21. सिद्ध कीजिए कि √7 एक अपरिमेय संख्या है। 4
उत्तर –
मान लेते हैं कि √7 एक परिमेय संख्या है।
तब
√7 = p/q
जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर –
7 = p²/q²
अर्थात्
p² = 7q²
इससे p², 7 से विभाज्य है। अतः p भी 7 से विभाज्य होगा।
मान लेते हैं p = 7k।
तब
p² = 49k²
अतः
49k² = 7q²
या
q² = 7k²
इससे q भी 7 से विभाज्य होगा।
इस प्रकार p और q दोनों 7 से विभाज्य हैं, जो उनके सह-अभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है।
अतः हमारी मान्यता गलत है।
इसलिए √7 एक अपरिमेय संख्या है।
अथवा
सिद्ध कीजिए कि √11 एक अपरिमेय संख्या है।
उत्तर –
मान लेते हैं कि √11 एक परिमेय संख्या है।
तब
√11 = p/q
जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0।
वर्ग करने पर –
11 = p²/q²
अर्थात्
p² = 11q²
इससे p² तथा p दोनों 11 से विभाज्य होंगे।
मान लेते हैं p = 11k।
तब
121k² = 11q²
अर्थात्
q² = 11k²
इससे q भी 11 से विभाज्य होगा।
यह p और q के सह-अभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है।
अतः √11 एक अपरिमेय संख्या है।
प्रश्न 22. गुणनखंड कीजिए – x³ + 3x² – 4x – 12। 4
उत्तर –
x³ + 3x² – 4x – 12
= x²(x + 3) – 4(x + 3)
= (x + 3)(x² – 4)
अब,
x² – 4 = (x + 2)(x – 2)
अतः
x³ + 3x² – 4x – 12
= (x + 3)(x + 2)(x – 2)
अतः गुणनखंड = (x + 3)(x + 2)(x – 2)।
अथवा
गुणनखंड कीजिए – x³ – 2x² – 5x + 6।
उत्तर –
x³ – 2x² – 5x + 6
= x³ – 3x² + x² – 3x – 2x + 6
= x²(x – 3) + x(x – 3) – 2(x – 3)
= (x – 3)(x² + x – 2)
अब,
x² + x – 2
= x² + 2x – x – 2
= x(x + 2) – 1(x + 2)
= (x + 2)(x – 1)
अतः
x³ – 2x² – 5x + 6
= (x – 3)(x + 2)(x – 1)
अतः गुणनखंड = (x – 3)(x + 2)(x – 1)।
प्रश्न 23. निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके सरल कीजिए – 4
(1) (x + 2)² – (x – 2)²
उत्तर –
(x + 2)² – (x – 2)²
= (x² + 4x + 4) – (x² – 4x + 4)
= x² + 4x + 4 – x² + 4x – 4
= 8x
अतः उत्तर = 8x।
(2) (3a + b)² – (3a – b)²
उत्तर –
(3a + b)² – (3a – b)²
= (9a² + 6ab + b²) – (9a² – 6ab + b²)
= 9a² + 6ab + b² – 9a² + 6ab – b²
= 12ab
अतः उत्तर = 12ab।
अथवा
सिद्ध कीजिए –
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
उत्तर –
(a + b)³
= (a + b)(a + b)²
= (a + b)(a² + 2ab + b²)
= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
= a³ + b³ + 3ab(a + b)
अतः सिद्ध हुआ –
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
अब 12³ + 8³ का मान ज्ञात करते हैं।
यहाँ,
a = 12 तथा b = 8
अतः
12³ + 8³
= (12 + 8)³ – 3(12)(8)(12 + 8)
= 20³ – 3 × 12 × 8 × 20
= 8000 – 5760
= 2240
अतः 12³ + 8³ = 2240।
